La teoria della probabilità è lo strumento matematico utilizzato per analizzare le
situazioni governate dal caso. La legge dei grandi numeri, scoperta da Jacob Bernoulli
nel diciottesimo secolo, dimostra che il risultato medio del lancio in aria di una lunga
sequenza di monete è di solito prossimo al valore atteso. Tuttavia si verificano eventi
inattesi, e rimane da capire come. La teoria delle grandi deviazioni si occupa di
studiare gli eventi rari e trova un’applicazione pratica in campi molto diversi tra loro
quali la fisica, la biologia, l’economia, la statistica, l’informatica e l’ingegneria.
La legge dei grandi numeri afferma che la probabilità di una deviazione oltre un
determinato livello tende a zero. Tuttavia, sul piano pratico, è di fondamentale
importanza stabilire la velocità alla quale avviene tale convergenza. Ad esempio,
quali sono le riserve di capitale di cui una compagnia d’assicurazioni deve disporre
per mantenere la probabilità d’insolvenza al di sotto di un limite accettabile? Nel
1937, nell’analizzare questo genere di problemi attuariali relativi alla “rovina”, Harald
Cramér intuì che le approssimazioni standard basate sul teorema del limite centrale
(come visualizzato dalla curva a campana) erano in realtà fuorvianti. In seguito, scoprì
le prime stime precise sulle grandi deviazioni per una sequenza di variabili casuali
indipendenti. Passarono altri trent’anni prima che Varadhan identificasse i principi di
fondo e iniziasse a dimostrare la loro straordinaria portata, che andava ben al di là
dell’ambito classico degli esperimenti indipendenti.
Nel 1966, nel testo pioneristico “Asymptotic probabilities and differential equations”,
e nel 1969, nella sorprendente soluzione al problema del polarone nella teoria
quantistica euclidea dei campi, Varadhan iniziò a formulare una teoria generale delle
grandi deviazioni che rappresentava molto di più di un miglioramento quantitativo dei
tassi di convergenza. Essa esaminava infatti un quesito fondamentale: quale è il
comportamento qualitativo di un sistema stocastico qualora esso si discosti dal
comportamento ergodico previsto dall’una o dall’altra versione della legge dei grandi
numeri oppure si manifesti come piccola perturbazione di un sistema deterministico?
La soluzione al problema è data da un potente principio variazionale: esso descrive il
comportamento inatteso come un nuovo modello probabilistico che riduce una
distanza entropica appropriata alla misura probabilistica iniziale. In una serie di
articoli scritti insieme a Monroe D. Donsker sulla gerarchia delle grandi deviazioni
nel contesto dei processi markoviani, Varadhan dimostrò la rilevanza e il vigore di
questo nuovo approccio. Una delle sue applicazione straordinarie è costituita dalla
soluzione di una delle congetture di Mark Kac relativa al comportamento asintotico
per tempi grandi di un intorno tubolare sulla traiettoria di un moto browniano, la
cosiddetta “salsiccia di Wiener”.
Grazie alla teoria delle grandi deviazioni di Varadhan disponiamo ora di un metodo
unitario ed efficace per comprendere un'ampia serie di fenomeni che possono
manifestarsi nei sistemi stocastici complessi in campi molto diversi tra loro quali la
teoria quantistica dei campi, la fisica statistica, la dinamica delle popolazioni,
l’econometria, la finanza e le tecniche di analisi del traffico. Essa ci ha anche
consentito di utilizzare in maggior misura i computer per simulare ed analizzare come
si verificano gli eventi rari. Negli ultimi quarant’anni, la teoria delle grandi deviazioni
è diventata una pietra miliare della moderna teoria della probabilità, sia pura, sia
applicata.
Varadhan ha fornito contributi chiave in numerose altre aree della probabilità.
Lavorando insieme a Daniel W. Stroock, ha messo a punto il metodo della martingala
per descrivere i processi diffusivi, come ad esempio le soluzioni delle equazioni
differenziali stocastiche. Questo nuovo approccio si è rivelato estremamente efficace
nell’elaborazione di nuovi processi markoviani, ad esempio le diffusioni infinitodimensionali
che si producono nella genetica delle popolazioni.
Un altro tema importante è l’analisi dei limiti idrodinamici che descrive il
comportamento macroscopico dei sistemi molto grandi di particelle interagenti. Il
primo, eccezionale, risultato sui modelli gradienti è stato ottenuto da Varadhan in
collaborazione con Maozheng Guo e George C. Papanicolaou. Egli si è poi spinto
oltre dimostrando come gestire i modelli non gradienti e ampliando notevolmente la
portata della teoria. Le sue idee hanno avuto un forte impatto anche sull’analisi delle
passeggiate aleatorie in un mezzo aleatorio. Il suo nome è ora collegato al metodo che
permette di “considerare l’ambiente della particella in movimento”, uno dei pochi
strumenti generali disponibili in questo campo.
L’opera di Varadhan è dotata di grande forza concettuale e di una bellezza eterna. Le
sue idee hanno avuto una grande influenza e continueranno ancora per lungo tempo a
stimolare nuove ricerche.
Biografia
Srinivasa S. R. Varadhan
è nato il 2 gennaio 1940 a Madras (Chennai), in India.
Attualmente è professore di matematica e professore di scienze Frank J. Gould presso il
Courant Institute of Mathematical Sciences della New York University.
Varadhan ha conseguito presso l’Università di Madras il Bachelor of Science with Honours
nel 1959 e il M.A. l’anno seguente. Nel 1963 ha svolto il dottorato di ricerca presso l’Indian
Statistical Institute a Calcutta; in tale occasione ha avuto come relatore di tesi il famoso
statistico indiano C.R. Rao. Si narra che durante la discussione della tesi, Varadhan notò la
presenza in aula di uno sconosciuto che successivamente gli rivolse numerose domande
impegnative. Conclusa l’esposizione, scoprì che si trattava del famoso matematico e
probabilista russo A. N. Kolmogorov. Sembra che il professor Rao avesse fissato la data della
tesi in modo che il collega, allora in visita in India, potesse assistere alla dissertazione del suo
brillantissimo allievo, e che il matematico russo non ne sia rimasto deluso.
Srinivasa Varadhan ha iniziato la sua carriera accademica presso il Courant Institute of
Mathematical Sciences in qualità di postdoctoral fellow (1963–66); in tale circostanza la sua
candidatura fu caldeggiata in particolare da Monroe Donsker.
In tale sede incontrò poi Daniel Stroock, che divenne suo collega e coautore.
In un articolo comparso nelle Notices of the American Mathematical Society, Stroock ricorda
quei primi anni: “Varadhan, che tutti chiamano Raghu, approdò su questi lidi dalla nativa
India nell’autunno del 1963. Atterrò all’Idlewild Airport e raggiunse Manhattan in autobus.
La sua meta era la famosa istituzione dal nome tuttavia modesto, il Courant Institute of
Mathematical Sciences, dove fruiva di una borsa di studio post-dottorato.” A Varadhan fù
assegnato uno dei molti uffici senza finestre dell’edificio, un’ex fabbrica di cappelli.
Nonostante l'ambiente prosaico, come narra Stroock: “nel dopoguerra l’istituto fu la culla di
un numero consistente di matematici di cui l'America va giustamente fiera.”
Srinivasa Varadhan è rimasto fedele al Courant dove ha ricoperto l’incarico di professore
assistente (1966–68), professore associato (1968–72) e, dal 1972, di professore ordinario.
Quando nel 1996 l’American Mathematical Society ha conferito a lui e a Strook lo Steel
Prize, ha rilasciato la seguente dichiarazione: “il Courant Institute ha rappresentato per noi
l’ambiente intellettuale ideale, dove abbiamo potuto beneficiare dell’incoraggiamento e del
sostegno attivo dei nostri colleghi più anziani, in particolare di Louis Nirenberg e Monroe
Donsker.”
Varadhan di certo non ha tradito la grande fiducia riposta in lui quando gli fu assegnata la
borsa di studio postdottorato. Nel 1965 Louis Nirenberg scrisse a Monroe Donsker per
proporgli di assegnare una cattedra del Courant a Varadhan: “Nutro una grandissima stima nei
suoi confronti e prevedo per lui un brillante futuro. È molto giovane, e ritengo che da molti
punti di vista rappresenti il miglior candidato alla carica di professore assistente in
probabilità.”
Quindici anni dopo Srinivasa Varadhan fu nominato direttore del Courant (1980-84) e
subentrò a Peter Lax. In una lettera di raccomandazioni rivolta al presidente della New YorkUniversity, Lax aveva scritto, “Ora che il Courant Institute mostra rinnovato vigore e guarda
con fiducia al futuro è giunto il momento di passare il testimone a una nuova generazione.”
Per strani giochi del destino, Srinivasa Varadhan, che fu successore di Peter Lax al Courant
Institute, ora gli subentra come vincitore del premio Abel. Varadhan ha ricoperto la carica di
direttore presso lo stesso istituto anche per un secondo periodo (1992-94).
Varadhan è stato visiting professor alla Stanford University (1976–77), al Mittag-Leffler
Institut (1972), e all’Institute for Advanced Study (1991–92).
Varadhan anche stato Alfred P. Sloan Fellow (1970–72) e Guggenheim Fellow (1984–85).
Ha ricevuto premi e riconoscimenti prestigiosi tra cui il premio Birkhoff (1994), il Margaret
and Herman Sokol Award of the Faculty of Arts and Sciences della New York University
(1995), e il Leroy Steele Prize (1996). È stato anche insignito di una laurea honoris causa
dall’Université Pierre et Marie Curie a Parigi (2003) e dall’Indian Statistical Institute a
Kolkata, India (2004).
È stato relatore invitato al Congresso internazionale dei matematici (CIM) nel 1978 e nel
1994 (conferenza plenaria).
Srinivasa Varadhan è stato eletto membro dell’American Academy of Arts and Sciences
(1988), della Third World Academy of Sciences (1988), e della National Academy of
Sciences (1995). È stato eletto Fellow dell’Institute of Mathematical Statistics (1991), della
Royal Society (1998) e dell’Indian Academy of Sciences (2004).
Srinivasa Varadhan è sposato con Vasundra Varadhan, professore presso la New York
University. Hanno un figlio, Ashok. Il loro figlio maggiore, Gopal, è stato una delle vittime
dell’attentato terroristico dell'11 settembre alle torri gemelle del World Trade Center.